in which we will work to advance ХХХ’s case law

[Alex16]

ХХХ will submit a written submission in reply to the Counter-Memorial on July ____ (“ХХХ’s Reply”), in which we will work to advance ХХХ’s case by rebutting YYY’s arguments and strengthening key arguments introduced in XXX’s first memorial filed on ______.

...в котором мы будем защищать позицию ХХХ, опровергая аргументы (доводы) ХХХ и подтверждая основные (ключевые) аргументы, изложенные в первом меморандуме ХХХ, представленном...

?

[Евгений Тамарченко]

М. б.

«постараемся защитить и укрепить позицию ХХХ, опровергнув … и упрочив…»

И я за «доводы».

[toast2]

to advance ХХХ’s case - выдвинуть / привести аргументы в подтверждение/обоснование (правовой) позиции ХХХ (в рамках производства по данному делу).

у вас - арбитраж?

[Alex16]

Спасибо. Арбитраж.

[toast2]

в арбитраже ( = третейском суде) memorial & counter-memorial - это то же самое, что и claim form (+ particulars of claim) & defence/defense в суде общей юрисдикции. то есть фактически то же самое, что и "исковое заявление" и "отзыв на исковое заявление".
в судах это в совокупности также называется pleadings (они же - практически и submissions) - т.е. "состязательные бумаги сторон" (фактически просто материалы, в которых стороны излагают свои правовые позиции, еще до выступления адвокатов в прениях).
и там, и там есть "дело", по которому ведется "производство".
в рамках производства по делу обе стороны выдвигают доводы (правовая позиция стороны) в подкрепление ( = обоснование) своей позиции и в опровержение (rebuttal) доводов противной стороны.
кстати, арбитраж (третейский суд) не может рассматривать одно и то же дело ( = "по одному и тому же основанию"), по которому одновременно ведется производство в суде общей юрисдикции.
это - к недавно обсуждавшемуся на безнадежно загаженном местным клоуном треде вопросу об "обеспечительных мерах".